本期話題：究竟什么是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)?
編者按：為什么要提出這個(gè)命題?因?yàn)樵绞堑綌?shù)學(xué)課程改革的深處，越發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的重要。“繼承與創(chuàng)新”說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，實(shí)際上是一個(gè)很難的事情，難就難在對(duì)什么應(yīng)該繼承、什么應(yīng)該創(chuàng)新的判斷。在改革中，“傳統(tǒng)”似乎一直是被打壓的對(duì)象，“傳統(tǒng)”就是應(yīng)當(dāng)被革命的事物的代名詞。論起理來(lái)，大家也都覺(jué)得優(yōu)良傳統(tǒng)應(yīng)該繼承，可是具體說(shuō)來(lái)，什么才是我們今天應(yīng)當(dāng)發(fā)揚(yáng)的“優(yōu)良”傳統(tǒng)，卻諱莫如深。追根溯源，是我們對(duì)傳統(tǒng)抱有偏見(jiàn)，對(duì)“優(yōu)良”傳統(tǒng)的內(nèi)涵還沒(méi)搞清楚，對(duì)真正的傳統(tǒng)缺乏很好的歸納、審視和總結(jié)。在“課程改革再出發(fā)”之際，我們很有必要在以前諸多爭(zhēng)論的基礎(chǔ)上，對(duì)這個(gè)具有本原性的問(wèn)題做一個(gè)徹底的探討。更重要的是，我們需要一個(gè)開(kāi)誠(chéng)布公的對(duì)話渠道，一個(gè)健康的學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴環(huán)境。如此才能真正解決問(wèn)題。
關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色——與國(guó)際上相應(yīng)概念的對(duì)照
●張奠宙
用一句話來(lái)概括中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色，那就是：“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。”這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，其內(nèi)涵就是三大數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力；這里的“數(shù)學(xué)發(fā)展”是指：提高用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生在德智體各方面的全面發(fā)展。與此相應(yīng)的教學(xué)方式，則是貫徹辯證唯物主義精神，進(jìn)行“啟發(fā)式”教學(xué)，關(guān)注課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，運(yùn)用“變式”進(jìn)行練習(xí)，加強(qiáng)解題規(guī)律的研究。
這樣的特色，也可以用“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”的習(xí)慣性說(shuō)法加以表述。“雙基”是指基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。但是“雙基教學(xué)”不等于“雙基”本身。作為一種教學(xué)思想，“雙基教學(xué)”并不是單純地強(qiáng)調(diào)打基礎(chǔ)，還包括在打好基礎(chǔ)之上的發(fā)展。以為“雙基教學(xué)”不要發(fā)展，那是一種誤解。
中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，具有許多與世界主流研究不同的特色。有一個(gè)時(shí)期，這些特色或者被當(dāng)作批判揚(yáng)棄的對(duì)象，或者被認(rèn)為是雕蟲(chóng)小技不予重視，還有一些則停留在樸素的層面，缺乏理論加工。相對(duì)于大肆追捧國(guó)外的一些光怪陸離卻并無(wú)實(shí)踐效果的“概念”和理論，我們未免有點(diǎn)“妄自菲薄”，太瞧不起自己了。
以下我們分別簡(jiǎn)述中國(guó)數(shù)學(xué)教育的六個(gè)特征，并和國(guó)外的有關(guān)提法相對(duì)照，借以顯示中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色所在。
1．注重“導(dǎo)入”環(huán)節(jié)。
涂榮豹指出，中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)長(zhǎng)于由“舊知”導(dǎo)出“新知”，“引入新課”往往是數(shù)學(xué)教師最為精心設(shè)計(jì)的部分①。注重“導(dǎo)入”環(huán)節(jié)，是貫徹啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵之一。一個(gè)好的“導(dǎo)入”設(shè)計(jì)，往往會(huì)成為一堂課成功的關(guān)鍵。經(jīng)過(guò)多年的積累，我國(guó)在“數(shù)學(xué)導(dǎo)入”上，已經(jīng)發(fā)展為一門藝術(shù)。
國(guó)外引進(jìn)的、強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生日常生活的“情境設(shè)置”，只是“導(dǎo)入”的一種。事實(shí)上，就數(shù)學(xué)課堂而言，能夠設(shè)置與學(xué)生的日常生活相聯(lián)系的“情境”，只能是少數(shù)。大多數(shù)的數(shù)學(xué)課，尤其是大量的“數(shù)與式”的運(yùn)算規(guī)則的程序性數(shù)學(xué)內(nèi)容，多半沒(méi)有現(xiàn)實(shí)情境可言。例如，因式分解、合并同類項(xiàng)、冪和指數(shù)運(yùn)算等，很難設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境。但是可以用適當(dāng)?shù)姆绞綄?dǎo)入。比如，用“整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解”導(dǎo)出“因式分解”、用“同類歸并”的樸素思想導(dǎo)入“合并同類項(xiàng)”、用“連加為乘”導(dǎo)出“連乘為冪”等都是可行的。中國(guó)數(shù)學(xué)課堂上，呈現(xiàn)了許多獨(dú)特的導(dǎo)入方式，除了現(xiàn)實(shí)“情境呈現(xiàn)”之外，還包括“假想模擬”、“懸念設(shè)置”、“故事陳述”、“舊課復(fù)習(xí)”、“提問(wèn)誘導(dǎo)”、“習(xí)題評(píng)點(diǎn)”、“鋪墊搭橋”、“比較剖析”等手段。 這些導(dǎo)入方式，是“啟發(fā)式”教學(xué)的有機(jī)組成部分。最近一段時(shí)間以來(lái)，我們提倡“情境教學(xué)”是正確的，但是，人不能事事都直接經(jīng)驗(yàn)，大量獲得的是間接經(jīng)驗(yàn)。從學(xué)生的日常生活情境出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，只能是啟發(fā)式的“導(dǎo)人”的一種加強(qiáng)和補(bǔ)充，不能取消或代替“導(dǎo)入”教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置。堅(jiān)持“導(dǎo)人新課”的教學(xué)研究，弄清它和“情境設(shè)置”的關(guān)系，是我們的一項(xiàng)任務(wù)。
2．“嘗試教學(xué)”。
1980年代，顧泠沅通過(guò)群眾性地總結(jié)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教育優(yōu)秀個(gè)案，提出“嘗試指導(dǎo)、效果回授”的教學(xué)策略②，風(fēng)靡大江南北。小學(xué)數(shù)學(xué)教育界，則有邱學(xué)華倡導(dǎo)的“嘗試教學(xué)法”③，具有全國(guó)性影響。他們的經(jīng)驗(yàn)中都有“嘗試”二字。這是一個(gè)有價(jià)值的“創(chuàng)造”。
西方相應(yīng)的理念是“探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”。但是，對(duì)于中小學(xué)生而言，在課堂學(xué)習(xí)中，要在短短的九年義務(wù)教育中，把人類幾千年來(lái)反復(fù)思考、經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的最基礎(chǔ)的知識(shí)“探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造出來(lái)”，那是難以做到的。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生進(jìn)行“嘗試”，比較符合基礎(chǔ)教育的實(shí)際。嘗試的含義是，提出自己的想法，可以對(duì)，也可以不對(duì)；可以成功，也可以失敗；可以做到底，也可以中途停止。嘗試，不一定要“自己”把結(jié)果發(fā)現(xiàn)出來(lái)，但是卻要有所設(shè)想、敢于提問(wèn)、勇于試驗(yàn)。讓學(xué)生在聽(tīng)取教師的講課時(shí)，根據(jù)自己或?qū)蝈e(cuò)的“嘗試”進(jìn)行對(duì)照，并通過(guò)師生互動(dòng)，最后把握知識(shí)的真諦，這是有效的可以操作的自主學(xué)習(xí)方式。
總之，“嘗試教學(xué)”的含義較廣，它可以延伸為“探究、發(fā)現(xiàn)”。“嘗試教學(xué)”，可以在每一節(jié)課上使用，探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，則只能少量為之。“嘗試教學(xué)”，應(yīng)該從理論上進(jìn)一步探討。
3．師班互動(dòng)。
國(guó)外盛行的“分組探究”、“代表匯報(bào)”、“彼此討論”、“教師總結(jié)”，是一種有效的師生互動(dòng)形式，但是比較適合于小班教學(xué)。如果班上人數(shù)超過(guò)30人，分組很多，教師對(duì)小組的指導(dǎo)就難以全面。
據(jù)曹一鳴等的調(diào)查，“師班互動(dòng)”是課堂師生互動(dòng)的主要類型④。中國(guó)的課堂人數(shù)相對(duì)較多，一般是40人，多的達(dá)60人。這樣的大班上課，用分組討論、匯報(bào)交流的教學(xué)方式十分困難。那么，數(shù)學(xué)課堂如何避免“滿堂灌”，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)呢?在長(zhǎng)期的實(shí)踐中，中國(guó)的數(shù)學(xué)教師采用了“設(shè)計(jì)提問(wèn)”、“學(xué)生口述”、“教師引導(dǎo)”、“全班討論”、“黑板書寫”、“嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)”、“互相糾正”等措施，實(shí)現(xiàn)了師生之間用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流，和諧對(duì)接，最后形成共識(shí)的過(guò)程。這是一個(gè)具有中國(guó)特色的創(chuàng)造。
我們注意到，當(dāng)教師提出數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)要求學(xué)生站起來(lái)回答。學(xué)生或者用口頭的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程，或者使用心算得出計(jì)算結(jié)果。如果一位學(xué)生回答不完整，由其他學(xué)生補(bǔ)充和更正。最后，教師將學(xué)生語(yǔ)言的表達(dá)，經(jīng)過(guò)提煉形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅鏀?shù)學(xué)語(yǔ)言，寫在黑板上。這樣，學(xué)生和學(xué)生、學(xué)生和教師之間通過(guò)“大聲說(shuō)”的方式，暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程，進(jìn)行心算演練，而且在討論中互相補(bǔ)充糾正，教師點(diǎn)撥總結(jié)，最后用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅嬲Z(yǔ)言寫在黑板上。這是一種和諧的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)接。筆者曾經(jīng)接待過(guò)一位美國(guó)同行，他對(duì)此非常贊賞。
小班的合作學(xué)習(xí)，與大班的“師班互動(dòng)”，各有短長(zhǎng)。不過(guò)，大班上課是中國(guó)國(guó)情所決定的，它仍是主流。
4．解題變式演練。
變式教學(xué)為我國(guó)各科教學(xué)所采用，但以數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用更為普遍。尤其是數(shù)學(xué)解題過(guò)程中采用變式練習(xí)，成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要特色。數(shù)學(xué)的變式教學(xué)就是通過(guò)不同的角度、不同的側(cè)面、不同的背景從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象的某些內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，使數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式。變式教學(xué)使學(xué)生做練習(xí)時(shí)的思維過(guò)程具有合適的梯度，逐步增加創(chuàng)造性因素；有時(shí)可將一道題進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊旰妥兓瑸閷W(xué)生提供嘗試發(fā)展的階梯；練習(xí)題的組合應(yīng)有利于學(xué)生概括各種解題技能，或從不同的角度更換解題的技能和方法。
在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式練習(xí)，要求教師編制成順序排列的訓(xùn)練題，為學(xué)生的思維發(fā)展提供一個(gè)個(gè)的階梯。練習(xí)題雖重復(fù)但不呆板，有利于學(xué)生構(gòu)建完整、合理的新知識(shí)。每一個(gè)變式，具有一定的創(chuàng)新意味，但是又能夯實(shí)基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)“在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上有所發(fā)展”的教學(xué)理念。
教育的一條基本規(guī)律是“循序前進(jìn)”。在面對(duì)成績(jī)中下的學(xué)生時(shí)，曾經(jīng)有“小坡度，小轉(zhuǎn)彎，小步走”的“三小”教學(xué)法；考試輔導(dǎo)書中大量編制的各種水平的變式練習(xí)題，這些都和數(shù)學(xué)變式練習(xí)密切相關(guān)。
5．提煉“數(shù)學(xué)思想方法”。
數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的提煉，是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要特征。長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)重視概念的理解、證明的過(guò)程、解題的思路，提倡數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)。這些都是重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)理念。
1980年代，徐利治正式提出“數(shù)學(xué)思想方法”的理論，用來(lái)指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。這一構(gòu)想，迅速在中國(guó)數(shù)學(xué)教育界獲得熱烈反響，并直接用于課堂教學(xué)。除了“分析綜合”、“歸納演繹”、“聯(lián)想類比”等一般數(shù)學(xué)思想方法之外，還使用“數(shù)形結(jié)合”、“化歸方法”、函數(shù)思想、方程思想、關(guān)系一映射一反演原理以及“幾何變換”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”、“逐步逼近”、“特例解剖”等解題策略。至于“變量替換”、“待定系數(shù)法”、“十字相乘法”等具體解題方法，一向都有，現(xiàn)在更加豐富起來(lái)。最可貴的是，這些數(shù)學(xué)思想方法，不是停留在理論探討上，而是付諸實(shí)踐，成為每一個(gè)中國(guó)數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。數(shù)學(xué)教師普遍具有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，將數(shù)學(xué)思想方法用于解題，并能夠用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)和反思。這是一筆巨大的精神財(cái)富。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候，不僅會(huì)解題，而且得到數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和熏陶，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維能力。這是一道多么亮麗的教育風(fēng)景!
到現(xiàn)在為止，西方的數(shù)學(xué)教育界還沒(méi)有提出能夠直接與“數(shù)學(xué)思想方法”相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域。至于“過(guò)程性”教學(xué)目標(biāo)的提法，則比較籠統(tǒng)。
6。解讀“熟能生巧”。
“熟能生巧”，是中國(guó)文化傳統(tǒng)的組成部分，也是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要理念之一。查查國(guó)外的教育文獻(xiàn)，沒(méi)有一種教育理論是支持“熟能生巧”的。即使中國(guó)社會(huì)普遍接受“熟能生巧”，國(guó)內(nèi)的教育文獻(xiàn)，也鮮見(jiàn)于著述。教育界似乎把“熟能生巧”等同于“死記硬背”了。那么，“熟能生巧”為什么是正確的呢?
大數(shù)學(xué)家華羅庚有詩(shī)云：“妙算還從拙中來(lái)，愚公智叟兩分開(kāi)。積久方顯愚公智，發(fā)白始知智叟呆。埋頭苦干是第一，熟能生出百巧來(lái)。勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛勞一分才。”⑤ 數(shù)學(xué)大師陳省身先生在一次《焦點(diǎn)訪談》節(jié)目中說(shuō)：“做數(shù)學(xué)，要做得很熟練，要多做，要反復(fù)地做，要做很長(zhǎng)時(shí)間，你就明白其中的奧妙，你就可以創(chuàng)新了。靈感完全是苦功的結(jié)果，要不靈感不會(huì)來(lái)。”⑥
研究數(shù)學(xué)如此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)何嘗不是如此?西方的教育理論忽視這一點(diǎn)，是不明智的。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該率先總結(jié)“熟能生巧”的規(guī)律。
具體說(shuō)來(lái)，“熟能生巧”有以下教育內(nèi)涵：1。記憶通向理解。2．速度贏得效率。3．嚴(yán)謹(jǐn)形成理性。4。重復(fù)依靠變式。此外，“熟能生巧”、“溫故而知新”等傳統(tǒng)格言，在基礎(chǔ)訓(xùn)練和創(chuàng)新思維之間的關(guān)系上，具有獨(dú)特的中國(guó)視野。
綜上所述，我們可以借用“數(shù)學(xué)雙基模塊”的三維圖示⑦(見(jiàn)下圖)作一個(gè)概括。首先是發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，組織學(xué)生的嘗試活動(dòng)，將主要的基本知識(shí)基樁經(jīng)過(guò)配套連接，成為一條“數(shù)學(xué)基本知識(shí)鏈”，然后通過(guò)“變式”形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，做到熟能生巧，再經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的提煉，得到數(shù)學(xué)能力的升華，形成立體的知識(shí)模塊。學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)正是由一個(gè)個(gè)的“雙基”模塊疊加、耦合、連接所構(gòu)成的。
這里出現(xiàn)的元素，都是中國(guó)特色的。
如何對(duì)待“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，是一個(gè)全球性的問(wèn)題。美國(guó)在1960年代搞“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，卻忽視基礎(chǔ)；于是在1970年代提出要“回到基礎(chǔ)”；1980年代提出“問(wèn)題解決”的口號(hào)，再次倡導(dǎo)創(chuàng)新發(fā)展；2008年的口號(hào)是“為了成功打好基礎(chǔ)”⑧。這是美國(guó)的“翻燒餅”式的折騰。
我國(guó)的數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)，也是在儒家文化、科舉文化、考據(jù)文化的傳統(tǒng)上，經(jīng)過(guò)正反兩方面的實(shí)踐所形成的。此外，中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色并非一成不變。“雙基”可以發(fā)展。例如提出增加“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)”和“基本數(shù)學(xué)思想方法”成為“四基”，也是可行的。但是，“四基”畢竟是在“雙基”之上發(fā)展起來(lái)的。數(shù)學(xué)教育的改革，不能割斷歷史，不能廢棄傳統(tǒng)，不能“以洋非中”。(作者單位系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系)
注釋：
(1)涂榮豹：《“知識(shí)本位”的教學(xué)環(huán)境》，收入張奠宙編：《中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》，上海教育出版社，2006，第9頁(yè)。
②上海市青浦縣數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)小組：《學(xué)會(huì)教學(xué)》，人民教育出版社，1991。
③邱學(xué)華：《嘗試教學(xué)法》，福建教育出版社，1995。
④曹一鳴、賀晨：《初中數(shù)學(xué)課堂師生互動(dòng)行為主體類型研究》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2009年第5期。
⑨華羅庚著：《從孫子的“神機(jī)妙算”談起》，科學(xué)出版社，1963。
(9陳永JII：《懷念恩師陳省身先生》，www‘c~mbinat~rics‘net‘crdnews／zu~tard
zuotanl205．htm。
(z)張奠宙：《中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》，上海教育出版社，2006。
⑧National Mathematics AdvisoryPanel．Foundations fnr Success：The FinalReport 0f the National Mathematics Ad-w‘sory Panel．U．S．Department of Edu-cati’on：Washington．DC．2008．
